Perkalian Vektor

Perkalian Vektor dengan Skalar

Perkalian skalar, misalnya k, dengan vektor, misalnya A, akan menghasilkan kA. Besaran (kA) ini merupakan sebuah vektor baru yang besarnya adalah besar k dikali besar A dan arahnya searah dengan vektor A jika k positif, dan berlawanan arah jika k negatif. Perkalian vektor dengan skalar ini bersifat komutatif, yaitu kAk.

Perkalian Vektor dengan Skalar
Perkalian Titik (Dot Product)

Perkalian titik adalah perkalian vektor yang didefinisikan sebagai:

AB = AB cos θ

dengan θ adalah sudut antara vektor A dan vektor B. Sedangkan A dan B merupakan besar dari vektor A dan vektor B. Karena A, B, dan θ adalah skalar, maka hasil perkalian titik adalah skalar. Perkalian titik ini bersifat komutatif, yaitu AB = BA atau AB cos θ = BA cos θ.

Untuk memudahkan perhitungan perkalian titik dua vektor, perlu dipahami terlebih dahulu sifat-sifat perkalian titik sesama vektor satuan. Perkalian titik antara dua vektor satuan akan bernilai satu jika kedua vektor tersebut sejenis dan bernilai nol jika tidak sejenis.

i ∙ i = j ∙ j = k ∙ k = (1)(1)  cos 0° = 1
i ∙ j =i ∙ k = j ∙k = (1)(1)  cos 90°= 0

Sudut antara vektor satuan i dan i adalah 0˚ maka (i)(i) cos 0° = 1, sedangkan sudut antara vektor satuan i dan j adalah 90˚ maka (i)(j)  cos 90° = 0. Ketentuan ini memenuhi sifat perkalian titik sesama vektor.

Berdasarkan sifat-sifat perkalian titik antara vektor satuan, maka perkalian titik antara vektor A dan vektor B dapat diperoleh sebagai berikut;

AB = (Ax i + Ay j + Az k) ∙ (Bx i + By j + Bz k)
          = AxBx AyBAzBz

Perkalian Silang (Cross Product)

Perkalian silang adalah perkalian vektor yang didefinisikan sebagai:

C = A × B

di mana C merupakan vektor baru hasil perkalian silang antara vektor A dan B. Besar vektor C adalah:

C = AB sin θ

dengan A adalah besar vektor A dan B adalah besar vektor B, sedangkan θ adalah sudut antara keduanya.

Arah dari vektor C ini tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh dua vektor tersebut. Di mana arahnya adalah sesuai dengan aturan tangan kanan di mana ujung vektor A menuju ujung vektor B searah dengan lipatan empat jari sedangkan jempol menunjukkan arah vektor C (lihat gambar di bawah).

Arah Vektor C
Pada perkalian silang vektor ini tidak berlaku sifat komutatif, jadi A×B ≠ B×A. Akan tetapi berlaku sifat anti-komutatif, yaitu A×B= -B×A. Artinya besar vektor B×A memiliki besar yang sama dengan vektor A×B namun arahnya berlawanan.

Untuk menentukan nilai resultan vektor dan persamaan perkalian vektor, dapat digunakan sifat-sifat perkalian silang sesama vektor satuan:

1. Perkalian silang antara dua vektor satuan yang sama besar dan searah bernilai nol. Misalnya, i×i = 0, j×j = 0, dan k×k = 0.

2. Perkalian antara dua vektor satuan yang berbeda akan bernilai positif jika searah jarum jam, dan bernilai negatif jika berlawanan arah dengan jarum jam.

i×j = k
j×k = i
k×i = j
j×i = -k
k×j = -i
i×k = -j


Berdasarkan sifat-sifat perkalian silang antara vektor satuan tersebut, maka perkalian silang antara dua vektor A dan B dapat diperoleh sebagai berikut:

A×= (Ax i + Ay j + Az k)×(Bx i + By j + Bz k)
        = (AyBAzBy) i - (AxBAzBx) j + (AxBAyBx) k

Untuk mempermudah dalam mengingat rumus di atas bisa menggunakan metode determinan seperti berikut ini:
A×B = i AyB+ j AzB+ k AxB- k AyB- i AzB- j AxBz
        = (AyBAzBy) i - (AxBAzBx) j + (AxBAyBx) k

Demikianlah pembahasan kali ini. Berikutnya kita akan membahas mengenai kinematika. Semoga bermanfaat dan terima kasih.

Sepertinya Anda menggunakan pemblokir iklan (ads blocker).

Dukunglah blog ini dengan mematikan ads blocker di browser jika Anda menggunakannya atau mematikan mode penghematan data di browser opera.

Terima kasih atas dukungannya.

×