Perkalian Vektor

Perkalian Vektor dengan Skalar

Perkalian skalar, misalnya k, dengan vektor, misalnya A, akan menghasilkan kA. Besaran (kA) ini merupakan sebuah vektor baru yang besarnya adalah besar k dikali besar A dan arahnya searah dengan vektor A jika k positif, dan berlawanan arah jika k negatif. Perkalian vektor dengan skalar ini bersifat komutatif, yaitu kAk.

Perkalian Vektor dengan Skalar
Perkalian Titik (Dot Product)

Perkalian titik adalah perkalian vektor yang didefinisikan sebagai:

AB = AB cos θ

dengan θ adalah sudut antara vektor A dan vektor B. Sedangkan A dan B merupakan besar dari vektor A dan vektor B. Karena A, B, dan θ adalah skalar, maka hasil perkalian titik adalah skalar. Perkalian titik ini bersifat komutatif, yaitu AB = BA atau AB cos θ = BA cos θ.

Untuk memudahkan perhitungan perkalian titik dua vektor, perlu dipahami terlebih dahulu sifat-sifat perkalian titik sesama vektor satuan. Perkalian titik antara dua vektor satuan akan bernilai satu jika kedua vektor tersebut sejenis dan bernilai nol jika tidak sejenis.

i ∙ i = j ∙ j = k ∙ k = (1)(1)  cos 0° = 1
i ∙ j =i ∙ k = j ∙k = (1)(1)  cos 90°= 0

Sudut antara vektor satuan i dan i adalah 0˚ maka (i)(i) cos 0° = 1, sedangkan sudut antara vektor satuan i dan j adalah 90˚ maka (i)(j)  cos 90° = 0. Ketentuan ini memenuhi sifat perkalian titik sesama vektor.

Berdasarkan sifat-sifat perkalian titik antara vektor satuan, maka perkalian titik antara vektor A dan vektor B dapat diperoleh sebagai berikut;

AB = (Ax i + Ay j + Az k) ∙ (Bx i + By j + Bz k)
          = AxBx AyBAzBz

Perkalian Silang (Cross Product)

Perkalian silang adalah perkalian vektor yang didefinisikan sebagai:

C = A × B

di mana C merupakan vektor baru hasil perkalian silang antara vektor A dan B. Besar vektor C adalah:

C = AB sin θ

dengan A adalah besar vektor A dan B adalah besar vektor B, sedangkan θ adalah sudut antara keduanya.

Arah dari vektor C ini tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh dua vektor tersebut. Di mana arahnya adalah sesuai dengan aturan tangan kanan di mana ujung vektor A menuju ujung vektor B searah dengan lipatan empat jari sedangkan jempol menunjukkan arah vektor C (lihat gambar di bawah).

Arah Vektor C
Pada perkalian silang vektor ini tidak berlaku sifat komutatif, jadi A×B ≠ B×A. Akan tetapi berlaku sifat anti-komutatif, yaitu A×B= -B×A. Artinya besar vektor B×A memiliki besar yang sama dengan vektor A×B namun arahnya berlawanan.

Untuk menentukan nilai resultan vektor dan persamaan perkalian vektor, dapat digunakan sifat-sifat perkalian silang sesama vektor satuan:

1. Perkalian silang antara dua vektor satuan yang sama besar dan searah bernilai nol. Misalnya, i×i = 0, j×j = 0, dan k×k = 0.

2. Perkalian antara dua vektor satuan yang berbeda akan bernilai positif jika searah jarum jam, dan bernilai negatif jika berlawanan arah dengan jarum jam.

i×j = k
j×k = i
k×i = j
j×i = -k
k×j = -i
i×k = -j


Berdasarkan sifat-sifat perkalian silang antara vektor satuan tersebut, maka perkalian silang antara dua vektor A dan B dapat diperoleh sebagai berikut:

A×= (Ax i + Ay j + Az k)×(Bx i + By j + Bz k)
        = (AyBAzBy) i - (AxBAzBx) j + (AxBAyBx) k

Untuk mempermudah dalam mengingat rumus di atas bisa menggunakan metode determinan seperti berikut ini:
A×B = i AyB+ j AzB+ k AxB- k AyB- i AzB- j AxBz
        = (AyBAzBy) i - (AxBAzBx) j + (AxBAyBx) k

Demikianlah pembahasan kali ini. Berikutnya kita akan membahas mengenai kinematika. Semoga bermanfaat dan terima kasih.

Label: