Perkalian Vektor

Perkalian Vektor dengan Skalar

Perkalian skalar, misalnya k, dengan vektor, misalnya A, akan menghasilkan kA. Besaran (kA) ini merupakan sebuah vektor baru yang besarnya adalah besar k dikali besar A dan arahnya searah dengan vektor A jika k positif, dan berlawanan arah jika k negatif. Perkalian vektor dengan skalar ini bersifat komutatif, yaitu kAk.

Perkalian Vektor dengan Skalar
Perkalian Titik (Dot Product)

Perkalian titik adalah perkalian vektor yang didefinisikan sebagai:

AB = AB cos θ

dengan θ adalah sudut antara vektor A dan vektor B. Sedangkan A dan B merupakan besar dari vektor A dan vektor B. Karena A, B, dan θ adalah skalar, maka hasil perkalian titik adalah skalar. Perkalian titik ini bersifat komutatif, yaitu AB = BA atau AB cos θ = BA cos θ.

Untuk memudahkan perhitungan perkalian titik dua vektor, perlu dipahami terlebih dahulu sifat-sifat perkalian titik sesama vektor satuan. Perkalian titik antara dua vektor satuan akan bernilai satu jika kedua vektor tersebut sejenis dan bernilai nol jika tidak sejenis.

i ∙ i = j ∙ j = k ∙ k = (1)(1)  cos 0° = 1
i ∙ j =i ∙ k = j ∙k = (1)(1)  cos 90°= 0

Sudut antara vektor satuan i dan i adalah 0˚ maka (i)(i) cos 0° = 1, sedangkan sudut antara vektor satuan i dan j adalah 90˚ maka (i)(j)  cos 90° = 0. Ketentuan ini memenuhi sifat perkalian titik sesama vektor.

Berdasarkan sifat-sifat perkalian titik antara vektor satuan, maka perkalian titik antara vektor A dan vektor B dapat diperoleh sebagai berikut;

AB = (Ax i + Ay j + Az k) ∙ (Bx i + By j + Bz k)
          = AxBx AyBAzBz

Perkalian Silang (Cross Product)

Perkalian silang adalah perkalian vektor yang didefinisikan sebagai:

C = A × B

di mana C merupakan vektor baru hasil perkalian silang antara vektor A dan B. Besar vektor C adalah:

C = AB sin θ

dengan A adalah besar vektor A dan B adalah besar vektor B, sedangkan θ adalah sudut antara keduanya.

Arah dari vektor C ini tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh dua vektor tersebut. Di mana arahnya adalah sesuai dengan aturan tangan kanan di mana ujung vektor A menuju ujung vektor B searah dengan lipatan empat jari sedangkan jempol menunjukkan arah vektor C (lihat gambar di bawah).

Arah Vektor C
Pada perkalian silang vektor ini tidak berlaku sifat komutatif, jadi A×B ≠ B×A. Akan tetapi berlaku sifat anti-komutatif, yaitu A×B= -B×A. Artinya besar vektor B×A memiliki besar yang sama dengan vektor A×B namun arahnya berlawanan.

Untuk menentukan nilai resultan vektor dan persamaan perkalian vektor, dapat digunakan sifat-sifat perkalian silang sesama vektor satuan:

1. Perkalian silang antara dua vektor satuan yang sama besar dan searah bernilai nol. Misalnya, i×i = 0, j×j = 0, dan k×k = 0.

2. Perkalian antara dua vektor satuan yang berbeda akan bernilai positif jika searah jarum jam, dan bernilai negatif jika berlawanan arah dengan jarum jam.

i×j = k
j×k = i
k×i = j
j×i = -k
k×j = -i
i×k = -j


Berdasarkan sifat-sifat perkalian silang antara vektor satuan tersebut, maka perkalian silang antara dua vektor A dan B dapat diperoleh sebagai berikut:

A×= (Ax i + Ay j + Az k)×(Bx i + By j + Bz k)
        = (AyBAzBy) i - (AxBAzBx) j + (AxBAyBx) k

Untuk mempermudah dalam mengingat rumus di atas bisa menggunakan metode determinan seperti berikut ini:
A×B = i AyB+ j AzB+ k AxB- k AyB- i AzB- j AxBz
        = (AyBAzBy) i - (AxBAzBx) j + (AxBAyBx) k

Demikianlah pembahasan kali ini. Berikutnya kita akan membahas mengenai kinematika. Semoga bermanfaat dan terima kasih.

Vektor Satuan

Sebelumnya telah kita pelajari penjumlahan vektor baik itu penjumlahan metode grafis, penjumlahan metode analitis, dan penjumlahan metode uraian.  Dalam metode uraian kita mengenal adanya komponen-komponen vektor. Nah, komponen-komponen vektor tersebut memiliki vektor satuan yang akan kita bahas pada kesempatan kali ini.

Sebuah vektor yang terletak di dalam ruang tiga dimensi memiliki komponen-komponen terhadap sumbu-x, sumbu-y, dan sumbu-z yang memiliki vektor satuan berturut-turut yaitu i, j, dan k. Perhatikan gambar di bawah ini yang melukiskan sistem koordinat tiga dimensi.
Vektor A dan vektor satuannya dalam tiga dimensi
Sebuah vektor A terletak pada ruang, lalu diproyeksikan menjadi komponen-komponen vektor Ax, Ay, dan Az. Secara matematis, vektor tersebut dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari tiga buah vektor, yaitu

AAx i + Ay j + Ak

Besar vektor A dapat dihitung dengan menentukan komponen-komponen vektor yang saling tegak lurus satu sama lain melalui persamaan,

Dalam analisis vektor satuan, jika dua buah vektor sama, besar komponen-komponennya juga harus sama. Misalnya,

Ax i + Ay j + Az k = Bx i + By j + Bz k

Besar resultannya dinyatakan dengan aturan sebagai berikut:

= (Ax Bx) i + (Ay By) j + (Az Bz) k
= (Ax Bx) i + (Ay By) j + (Az Bz) k

Demikianlah pembahasan kali ini. Berikutnya kita akan membahas mengenai perkalian vektor. Semoga bermanfaat dan terima kasih.

Penjumlahan Vektor dengan Metode Uraian

Dalam beberapa kasus, seringkali ada penjumlahan beberapa vektor yang lebih dari dua buah. Secara grafis, metode yang digunakan adalah metode poligon, seperti yang telah disinggung sebelumnya. Namun secara analitis, cara menentukan besar dan arah vektor resultannya adalah dengan menggunakan metode uraian yang akan dibahas pada kesempatan kali ini.

Menjumlahkan sejumlah vektor dapat dilakukan dengan menguraikan setiap vektor menjadi komponen-komponennya ke sumbu-x dan sumbu-y pada koordinat kartesian.

Misalnya terdapat tiga buah vektor A, B, dan C terletak pada koordinat kartesian seperti terlihat pada gambar berikut ini:
Tiga vektor setitik tangkap
Cara menjumlahkan vektor-vektor tersebut dengan metode uraian dilakukan dengan cara sebagai berikut:

1. Menguraikan masing-masing vektor menjadi komponen-komponen vektor pada sumbu-x dan sumbu-y. Lihat gambar di bawah!
Penguraian tiga vektor setitik tangkap
2. Menjumlahkan semua komponen pada sumbu-x menjadi Rx dan semua komponen pada sumbu-y menjadi RyBerdasarkan gambar penguraian di atas diperoleh:

Rx = Ax+Bx+C= A cos θ1+B cos θ2+C cos θ3
Ry = Ay+By+C= A sin θ1+B sin θ2+C sin θ3

Vektor resultan hasil penjumlahan tersebut diperoleh dengan menjumlahkan komponen vektor Rx dan Ry dengan dalil Pythagoras:
dengan arah;

θ = arctan (Ry/Rx)

Demikian pembahasan kita mengenai penjumlahan vektor dengan metode uraian. Pada pembahasan selanjutnya kita akan membahas tentang vektor satuan.

Penguraian Vektor Menjadi Komponen-Komponen Vektor

Sebelumnya telah kita bahas mengenai penjumlahan vektor dengan metode grafis dan analatis. Sekarang kita akan membahas mengenai penguraian vektor menjadi komponen-komponen vektor.

Suatu vektor A pangkalnya ditempatkan pada pusat koordinat kartesian seperti pada gambar di bawah ini:
Vektor di Koordinat Kartesian
Penguraian suatu vektor adalah kebalikan dari penjumlahan dua vektor. Contoh sebuah vektor berada dalam koordinat kartesian pada gambar di atas dapat diuraikan menjadi dua buah vektor yang terletak pada sumbu-x dan y seperti pada gambar berikut ini:
Penguraian Vektor A
Besaran Ax dan Ay pada gambar di atas dinamakan komponen vektor. Dari gambar tersebut dapat diperoleh hubungan:

Ax = A cos θ
Ay = A sin θ

Jika yang diketahui adalah Ax dan Ay maka arah resultan dapat ditentukan oleh sudut antara vektor tersebut dengan sumbu-x yaitu persamaan:

tan θ = Ay/Ax 

Persamaan di atas dapat ditulis;

θ = arctan (Ay/Ax)

Besar vektor A tersebut dapat dicari menggunakan dalil pythagoras karena Ax dan Ay saling tegak lurus;

Demikianlah pembahasan kita mengenai penguraian vektor. Selanjutnya kita akan membahas tentang penjumlahan vektor dengan metode uraian.

Penjumlahan Vektor dengan Metode Analitis

Penjumlahan vektor dengan cara analitis merupakan penjumlahan menggunakan perhitungan rumus. Penggambaran vektor kadang-kadang diperlukan, namun skalanya tidak perlu tepat karena nantinya rumus yang digunakan. Penggambaran vektor pada metode analitis ini hanya diperlukan untuk membantu memahami persoalan saja.

Penjumlahan Dua Vektor yang Saling Tegak Lurus

Jika dua buah vektor, A dan B, yang saling tegak lurus seperi terlihat pada gambar di bawah ini:

Dua Vektor Saling Tegak Lurus
Maka akan menghasilkan vektor resultan, R, yang besarnya diperoleh menggunakan Dalil Pythagoras, yakni sebagai berikut:
dengan arah,
terhadap arah vektor A dengan catatan vektor B searah sumbu-y dan vektor A searah sumbu-x.

Penjumlahan Dua Vektor yang Mengapit Sudut

Dua buah vektor, A dan B, yang satu sama lain mengapit sudut seperti yang diperlihatkan pada gambar di bawah (gambar pertama). Maka dengan menggunakan metode jajargenjang dapat diperoleh resultannya seperti pada gambar kedua.
Dua Vektor yang Mengapit Sudut
Sehingga untuk mencari besar resultannya, dapat digunakan persamaan berikut ini:
Arah resultan dapat ditentukan menggunakan aturan sinus seperti berikut ini:
dengan θ adalah sudut antara vektor A dan B, α adalah sudut antara vektor A dan resultan R, β adalah sudut antara B dan resultan R, sedangkan A dan B adalah besar masing-masing vektor.

Sementara itu, untuk menghitung nilai selisih antara vektor A dan B digunakan persamaan untuk mencari besar resultan di atas dengan mengganti θ menjadi 180 – θ. Oleh karena cos (180° – θ )  = –cos θ sehingga diperoleh persamaan seperti berikut ini:
Demikian pembahasan kita mengenai penjumlahan vektor dengan metode analitis, berikutnya akan kita bahas mengenai penguraian vektor. Terima kasih.

Sifat-Sifat Penjumlahan Vektor

Sebelumnya kita telah membahas mengenai penjumlahan vektor metode grafis. Nah, saat ini kita akan membahas mengenai sifat-sifat penjumlahan vektor. Penjumlahan vektor memiliki dua sifat yaitu komutatif dan asosiatif.

Sifat Komutatif

Jika dua vektor vektor A dan B dijumlahkan, seperti pada gambar di bawah:
Vektor A dan B

Maka dengan metode segitiga penjumlahan tersebut dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu;
  1. Vektor B digeser hingga pangkalnya berimpit dengan ujung vektor A, kemudian pangkal vektor A  dihubungkan dengan ujung vektor B sehingga akan terbentuk vektor baru A+B. Lihat gambar di bawah ini!
  2. Vektor A digeser hingga pangkalnya berimpit dengan ujung B, kemudian pangkal vektor B dihubungkan dengan ujung vektor A sehingga akan terbentuk vektor baru B+A. Lihat gambar di bawah ini!
Dari kedua cara dapat disimpulkan bahwa A+B+A. Inilah yang dimaksud dengan sifat komutatif.

Sifat Asosiatif

Jika terdapat tiga vektor, misal vektor A, B, dan C, seperti terlihat dari gambar di bawah:

Vektor A, B, dan C
Maka jika penjumlahan tersebut dilakukan dengan penjumlahan metode segitiga, yaitu menjumlahkan dua vektor terlebih dahulu baru kemudian resultannya ditambahkan dengan satu vektor yang tersisa, dapat dilakukan dengan dua cara seperti berikut  ini:
  1. Vektor B digeser ke ujung vektor A terlebih dahulu sehingga menghasilkan vektor A+B. Kemudian vektor C digeser ke ujung vektor A+B lalu pangkal vektor A+B dihubungkan ke ujung vektor C sehingga menghasilkan vektor (A+B)+C. Lihat gambar berikut ini!
  2. Vektor C digeser ke ujung vektor B terlebih dahulu sehingga menghasilkan vektor B+C. Kemudian geser vektor B+C ke ujung vektor A lalu pangkal vektor A dihubungkan ke ujung vektor B+C sehingga menghasilkan vektor A+(B+C).  Lihat gambar berikut ini!
Dari cara di atas dapat disimpulkan bahwa (A+B)+C=A+(B+C). Inilah yang disebut dengan sifat asosiatif.

Demikianlah pembahasan kita mengenai sifat-sifat penjumlahan vektor. Berikutnya akan kita bahas mengenai penjumlahan vektor dengan metode analitis. Terima kasih.

Penjumlahan Vektor dengan Metode Grafis

Sebelumnya telah dibahas mengenai pengertian vektor dan skalar. Nah, saat ini kita akan membahas mengenai penjumlahan vektor. Jika beberapa vektor dijumlahkan maka akan dihasilkan sebuah vektor baru yang disebut dengan resultan vektor. Resultan vektor dapat diperoleh dengan beberapa metode, yaitu metode grafis, analitis, dan uraian. Saat ini kita akan membahas penjumlahan vektor dengan metode grafis.

Metode grafis memerlukan sketsa yang tepat skalanya, sehingga diperlukan mistar dan busur derajat untuk mengukurnya. Metode grafis sebetulnya sangat praktis namun memerlukan ketelitian dalam menggambar dan melakukan pengukuran panjang resultan dan sudutnya.

Metode-Metode Penjumlahan Vektor

Beberapa vektor dapat dijumlahkan menjadi sebuah vektor yang disebut resultan vektor. Dengan penjumlahan secara grafis, resultan vektor dapat diperoleh dengan beberapa metode, yaitu metode segitiga, metode jajargenjang, dan metode poligon.

1. Metode Segitiga

Untuk mengetahui jumlah dua buah vektor dapat menggunakan metode segitiga. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

  1. Vektor pertama, misalnya A, digambarkan sesuai dengan besar dan arahnya.
  2. Vektor kedua, misalnya B, digambarkan dengan pangkalnya berimpit dengan ujung vektor A.
  3. Titik pangkal vektor A dihubungkan dengan ujung vektor B dengan gambar anak panah sehingga terbentuk sebuah vektor baru A+B  atau yang disebut dengan resultan vektor R.

Untuk lebih jelasnya silakan lihat gambar berikut!

Penjumlahan Vektor dengan Metode Segitiga
2. Metode Jajargenjang

Selain dengan metode segitiga, dua buah vektor juga dapat dijumlahkan dengan metode jajargenjang. Pada metode jajargenjang terdapat beberapa langkah, yaitu sebagai berikut:
  1. Vektor pertama, misalnya A, dan vektor kedua, misalnya B digambar dengan titik pangkalnya berimpit.
  2. Sebuah jajargenjang digambar dengan kedua vektor tersebut sebagai sisi-sisinya.
  3. Resultan kedua vektor adalah diagonal jajargenjang dengan titik pangkalnya sama dengan titik pangkal kedua vektor tersebut.

Untuk lebih jelasnya silakan lihat gambar berikut ini!

Penjumlahan Vektor dengan Metode Jajargenjang
3. Metode Poligon

Metode poligon dapat digunakan untuk menjumlahkan dua buah vektor atau lebih, metode ini merupakan pengembangan dari metode segitiga. Misalnya terdapat tiga buah vektor, yaitu A , B, dan C, maka cara menjumlahkan dengan metode poligon dapat dilakukan dengan beberapa langkah, seperti berikut ini:
  1. Vektor pertama, yaitu vektor  A digambar terlebih dahulu sesuai besar dan arahnya.
  2. Vektor kedua, yaitu vektor B digambar dengan pangkalnya berimpit dengan vektor A.
  3. Vektor ketiga, yaitu vektor C juga digambar dengan pangkalnya berimpit dengan vektor B.
  4. Resultannya dapat dicari dengan menghubungkan pangkal vektor pertama dengan ujung vektor terakhir.
Untuk lebih jelasnya silakan lihat gambar berikut ini!


Penjumlahan Vektor dengan Metode Poligon

Selisih Vektor

Penghitungan selisih vektor atau disebut juga dengan pengurangan vektor pada prinsipnya sama dengan penjumlahan vektor. Hanya saja di selisih vektor, penjumlahannya dilakukan dengan vektor negatifnya. Vektor negatif adalah vektor yang besarnya sama namun arahnya berlawanan.

Contoh dari selisih vektor atau pengurangan vektor adalah R=A-B atau R=A+(-B). Hal ini menunjukan bahwa selisih antara vektor A dan B  adalah hasil penjumlahan vektor A dan -B, dengan -B adalah vektor yang berlawanan arah dengan B  tetapi nilainya sama dengan B. Perhatikan gambar berikut!
Selisih Vektor
Itulah cara menjumlahkan vektor dengan metode grafis. Selanjutnya akan kita bahas tentang sifat-sifat penjumlahan vektor.

Pengertian Vektor dan Skalar

Sebelumnya telah dibahas tentang besaran pokok dan besaran turunan yang merupakan jenis besaran berdasarkan satuannya. Selain dibagi berdasarkan satuannya, besaran juga dapat dibagi berdasarkan nilai dan arahnya, yaitu besaran vektor dan besaran skalar.

Pengertian

Besaran vektor merupakan besaran yang mempunyai besar dan arah. Besaran-besaran yang termasuk vektor di antaranya kecepatan, percepatan, gaya, momentum, medan listrik, medan magnet, dan lain sebagainya.

Sementara itu, besaran yang hanya ditentukan oleh besarnya saja disebut besaran skalar. Contoh besaran skalar adalah massa, waktu, temperatur, energi, volume, dan sebagainya.

Penulisan

Besaran vektor digambarkan dengan garis lurus beranak panah. Panjang garis menyatakan besar vektor dan anak panah menyatakan arah vektor. Seperti pada gambar berikut ini:

Gambar 1 Besaran Vektor F

Anak panah dapat memberikan dua sifat yang dimiliki oleh vektor. Panjang anak panah menggambarkan nilai vektor sedangkan arah anak panah menggambarkan arah vektornya.

Sebuah vektor biasanya disimbolkan dengan huruf/simbol bercetak tebal atau pada penulisan tangan biasanya dengan anak panah di atas huruf/simbol. Misalnya Gaya (F) cara penulisannya adalah F atau huruf F seperti pada Gambar 1 di atas.

Pada penulisan nilai atau besar vektor, untuk buku cetakan biasanya menggunakan huruf besar miring, seperti A, B, atau F, sedangkan tulisan tangan dinyatakan dengan sebuah huruf besar dengan anak panah di atasnya beserta tanda harga mutlak.

Resultan Vektor

Beberapa vektor dapat dijumlahkan menjadi sebuah vektor yang disebut resultan vektor. Resultan vektor dapat diperoleh dengan beberapa metode, yaitu metode grafis dan analitis. Hal ini akan dibahas pada artikel selanjutnya.

Sepertinya Anda menggunakan pemblokir iklan (ads blocker).

Dukunglah blog ini dengan mematikan ads blocker di browser jika Anda menggunakannya atau mematikan mode penghematan data di browser opera.

Terima kasih atas dukungannya.

×